在数学的学习过程中，你见过最妙的数学证明是什么？

中学时期曾在Matrix67的博客里看到过一个巧妙的题目，原题来自2014 年印度全国奥林匹克数学竞赛。

求证：对于任意正整数 而言， 总是偶数， 表示不超过 的最大整数。

这题的常规解法难度并不大，使用数学归纳法外加一点点点注意力就好：

令

显然 ，成立。假设 是个偶数，我们来证明 也是偶数。

注意到 ，当且仅当 能被 整除；否则它将等于0。

我们记 为 的因数个数，于是有

注意正整数的因数个数总是偶数（因数都是成对的嘛），除非它恰好是一个完全平方数。

于是 是个偶数，除非 是个完全平方数。

而当 是完全平方数时， ，否则它将等于0。

于是 总是个偶数，再由假设，我们得到原命题成立。

这个证明很稳健，但是不够优雅，一位名叫David Angell的网友给了一个很优雅的证明：

注意到——

这个东西，恰好是第一象限中位于曲线 下方（含接触）的整数格点数目诶！(*^▽^*)

我们把这样的格点分为两类：A类是位于直线 之上的，B类是位于直线 之外的。

显然B类点的数目是偶数，因为B类点都是关于直线 对称分布的。

接下来讨论A类点，显然A类点的坐标都是 ，其中 不超过 ，所以A类点的数目恰好是 。

那么原式的意义就是B类点的数目（偶数个）加上A类点的数目（ 个），再额外加一个 ，这个结果显然是偶数。

证毕。

Matrix67.com - Home

Matrix67的博客至今还在更新，感谢他让中学阶段的我得以一窥数学殿堂的窗棂间透出的光。