为什么 lnx 求导是 1/x？

其实，我想对题主说，你提的问题一点都不弱智。恰恰相反，这是个非常有意义的问题。我们学习一门知识，尤其是数学知识，要知其然，更要知其所以然。今天，我尝试从“如何去定义“的角度出发来解释这个问题，不玩公式推导的符号游戏。希望能带来新的启发。

为解决对数函数的问题，在未给出定义以前，我们应该先研究指数函数。最开始，我们有指数的基本性质：

根据基本性质，你应该能够推导出一些指数函数的运算法则，例如：

上述公式中的 ，，使得指数函数在实数域上也有了定义。 （经@朱俊辉 指正）

我们先研究指数函数 的一阶导，根据极限：

注意框起来的部分，一个关于 的函数，我们姑且叫它“谜之函数” ，一个迷一样的函数。

我们对 所知甚少，但至少应该了解它的几何含义： 指数函数 在 点处的斜率。

为了搞清楚 究竟是什么，我们假设有一个“迷之数” ， 使得 。虽然，我们不清楚 究竟是什么，但有了这样的假设，非常自然的：

那么，数 一定就存在的吗？不妨来验证一下，考虑 ， 。

将 带入到 ： ， 。

对比我们上面的假设可以发现，数 确实是存在的，只需令 ，此时的 即为 。

我们绕了一大圈，还没搞清楚 ，又引入了数 ，这么做究竟是为什么呢？回顾一下，考虑一个指数函数是非常自然的，更进一步，定义在实数域上的指数函数也很显然。我们在计算指数函数的导数过程中，遇到了“棘手”的 ，但是，通过引入假设的数 ，似乎又没那么难了。而且我们证明了，数 是一定存在的。

有了指数函数，定义其反函数称为对数函数。你应该记得什么是反函数，几何意义是将函数图像以轴 对称，计作 。以数 为底的指数函数具有良好性质，其反函数是以数 为底的对数函数，记作： 。

一个问题：已知 是 的反函数，那么

答案： 。令 ， ，取 的反函数 。因为 是 的反函数，所以，当 ， ，推出 。可以这样想，反函数是关于 对称，那么反函数的反函数则就是其本身了。

最后，我们解决 ，令 ：

根据隐函数微分法：

整理可得：

证毕。

最后，聪明的小伙伴可能已经发现了，那个“迷之函数” 其实就等于 。相关证明留作课后习题，请读者自行完成。