为什么银行存款、河流长度等集合的首位数字更容易出现 1 而不是 9？

楼上已有回答说了本福特定律，这里我来大概解释一下它的原理。

事实上，这个问题分为两部分：数学部分和非数学部分，数学部分又分为两部分：动力系统部分和统计学部分。

动力系统部分

数学上这是一个有关随机整数列首位分布的问题。在Stein的 Fourier Analysis 中有讲过Weyl等分布定理(Weyl's euqidistribution theorem)。在遍历论/动力系统中也有一个相关的定理，叫Birkhoff遍历定理(Birkhoff’s Ergodic Theorem)。下面我们来大概梳理一下它们之间的关系。

Weyl等分布定理

下面这位学长曾经写过详细的文章来介绍这件事情：

元亨利贞：{sin(n^p)}稠密性，Weyl准则，等分布序列Equidistributed Sequence

Birkhoff遍历定理

内容表述：对于保测动力系统 ，若系统是遍历的（即不存在非平凡的 -不变集），则对任意可积函数 ，时间平均几乎处处收敛于空间平均：

Ergodic theory - Wikipedia

这是Weyl等分布定理的推广。至于为什么是推广，如果有空了再写（）

本福特定律

我们用一个例子来说明什么是本福特定律。

考察数列

记录它们的首位数字，直观上我们会觉得这是一个随机的排列，从而首位数字为

的概率都相等，即均为 然而事实并非如此。

事实上，映射

是遍历的（ergodic），即满足

这个网页中有所说明。

从而，Weyl等分布定理或者Birkhoff遍历定理告诉我们如下性质：

命题 . 在上述数列中，以 为首位数字的概率是

这直接地告诉我们：用等比数列生成的随机数并不是真随机数，而是一种伪随机数。

我们着重考察具有这种性质的数据，引入如下定义：

定义 . 一组数据如果满足首位数字的概率

则称其满足本福特定律。

注记 . 本福特定律事实上是一个定义而非定理！！！后面会再次重复。

注记 . 还可以对位数进行扩展，譬如 作为第 位数字的概率是

数学部分就到此结束了。事实上数学也只能证明这么多。

统计学部分

本福特定律需要检验

那么（终于）问题来了，题主说的银行存款、河流长度为什么满足本福特定律呢？事实上，本福特定律是一个后验的定义，即我们并不能知道哪些数据事实上满足本福特定律，当然,如果给定了数学表达式。我们可以推导，然而问题是现实生活中的数据往往没有准确的公式来表达。下面是两个例子：

感谢评论区指正，注意上述数据来源于List of tallest buildings and structures - Wikipedia，这里的表格指的是按照不同材料/建筑方式建筑的最高高度！（更新于2025/3/17）

也并非所有的数列都满足本福特定律，例如：

那么最重要的问题就是：什么样的序列满足本福特定律？

因为本福特定律事实上是一个定义而非定理，我们可以考虑用特定的方式检验数据，从而判断其为真随机还是伪随机，如果是真随机，那么就不满足本福特定律，如果是伪随机，且满足本福特分布，才有的谈！

在统计学中，常见的检验方式有二：Kolmogorov-Smirnov test 和 Kuiper's test，详见如下两个链接（均来自Wikipedia）：

Kolmogorov–Smirnov test - WikipediaKuiper's test - Wikipedia

题主的问题

所以说，在给定一些银行存款，河流长度的数据后，可以使用特定方法检验它是否符合本福特定律的分布。

非数学部分

至于为什么那么多数据都满足本福特定律的分布，乃至于可以检验选举投票、税务、经济发展数据是否造假呢？（见Benford's Law | Brilliant Math & Science Wiki的最后一段）

——暂不清楚，这可能是个哲学问题吧。