数学里有哪些精彩的伪证？

初中时曾在《重难点手册》上看到了一个证明“所有的三角形都是等边三角形”，看完后我震惊了好久没能找到破绽，直到自己动手作图尝试了一下（当年书上没有提供答案）。

在此不得不感慨，纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。

这道题目是这样的：

根据示意图，对于一个任意三角形 ，通过其一个顶点A做 的角平分线AO，它与边BC的中垂线相交于点O，而且点D是BC的中点。下面开始证明AB=AC

为了证明AB=AC，我们需要一些辅助线。连接OB以及OC，并且通过O点做AB和AC的垂线，分别相交于点E和点F。如下图所示：

我们先来证明 （三角形OAE和三角形OAF全等）

由于AO是角平分线，所以

这两个三角形共用AO这条边

这两个三角形都是直角三角形（ ， ）

所以我们可以得出 （确实全等）

那么就有 AE=AF

下面我们来证明 （三角形OEB和三角形OFC全等）

因为

所以 OE=OF

然后因为OD是BC的中垂线，所以 OB=OC

最后这两个三角形都是直角三角形 （ ， ）

所以 （确实全等）

那么我们就有 BE=FC

（ 说实话，我是没有预料到这么多人说这是角边边不能全等……

角边边确实不能用来判定两个非直角三角形全等，但是可以用来判定两个直角三角形全等，这是HL!

而这里，是直角三角形，所以证明没有问题

如果你依然不能理解的话，我有两个建议

1. 请复习一下全等三角形的部分
2. 请自行运用三角函数来判断一下 ）

最后证明 AB=AC

因为 AB=AE+BE, AC=AF+FC

而且 AE=AF, BE=FC

所以AB=AC

然后我们通过类似的方法，通过另一个顶角做角平分线的方法，可以证明AB=BC=AC

由于这是一个任意三角形，所以我们可以得出任何三角形都是等边三角形。

揭秘开始：

当时的我，一开始没有当回事。但是当我一遍又一遍地审阅其中的证明时却傻眼了——我居然没看出问题！此外，对于这道思考题，《重难点手册》居然还没有解答！

无奈之下，我拿出了直尺和圆规，决定亲手作图来看看其中的玄机。一画完图，我就意识到了其中的玄机——第一步就把我给糊弄了，非等腰三角形的角平分线和对边的中垂线的交点，并不在三角形内部，而是在三角形外部！（而对于等腰三角形，则这两条线重合）

所以后续就是，确实 AE=AF，确实 BE=FC

但是 AB=AE+BE，而 AC=AF-FC

所以 ——而BE和AB的比值大概可以反映偏离等腰三角形的程度吧

并不是所有的三角形都是等边三角形

实际上这个证明方法可以被用来作为反证法，用于证明

为何非等腰三角形的角平分线和对边中垂线交点在三角形外；

为何三角形的角平分线一定在垂线和中线之间。

我很感谢这道题，很感谢它没有给我答案，从而逼迫了我自己去找寻这么有意思的事情。