古诗存不存在三言和六言的？
存在。我先说三言诗吧。三言诗其实是挺多的，你去《乐府诗集》里随便翻一下会发现大量三言诗，它们基本是朝廷在郊庙祭祀或其他典礼中使用的颂歌。《乐府诗集》的开篇《汉郊祀歌十九首》里有七首是纯三言诗，这个比例是36%，肯定不能说是低了。比如这首《天马》，非常浪漫，非常美丽，非常梦幻：
天马徕，从西极，涉流沙，九夷服。天马徕，出泉水，虎脊两，化若鬼。天马徕，历无草，径千里，循东道。天马徕，执徐时，将摇举，谁与期？天马徕，开远门，竦予身，逝昆仑。天马徕，龙之媒，游阊阖，观玉台。
《汉书·武帝纪》里提到过“元鼎四年秋，马生渥洼水中，作《天马之歌》“”太初四年春，贰师将军李广利斩大宛王首，获汗血马来，作《西极天马之歌》“。这两件事在《史记·乐书》中亦有记载，但司马迁记录的是两首楚歌体而非三言，当然这两本史书里说的可能不完全是同一件事，因为史记里写的这个事情强调是汉武帝本人作诗。
还有这首《赤蛟》：
赤蛟绥，黄华盖，露夜零，昼晻濭。百君礼，六龙位，勺椒浆，灵已醉。灵既享，锡吉祥，芒芒极，降嘉觞。灵殷殷，烂扬光，延寿命，永未央。杳冥冥，塞六合，泽汪濊，辑万国。灵禗禗，象舆轙，票然逝，旗逶蛇。礼乐成，灵将归，讬玄德，长无衰。
事实上依汉制的话，郊祀歌中的迎送神歌应当是三言诗，这是标准文体。《宋书·乐志》里写道：“迎送神歌，依汉郊祀，三言，四句一转韵。”比如北周的祭祀用歌曲《雍乐》就是这样的，词作者是庾信，中规中矩吧：
礼将毕，乐将阑。回日辔，动天关。翠凤摇，和銮响。五云飞，三步上。风为驭，雷为车。无辙迹，有烟霞。畅皇情，休灵命。雨留甘，云馀庆。（“无辙迹，有烟霞”有一种“曲终人不见，江上数峰青”的美）
这首是武则天写的，我个人挺喜欢的：
瞻紫极，望玄穹。翘至恳，罄深衷。听虽远，诚必通。垂厚泽，降云宫。
我说了这么多不知道你联想到了什么，但我觉得你应该想到这个：
巩金瓯，承天帱，民物欣凫藻，喜同袍，清时幸遭，真熙皞，帝国苍穹保，天高高，海滔滔。
当然《巩金瓯》夹杂了四言和五言的形式，但总体是三言的，这是一种源远流长、自始至终的郊祀歌传统，不是那么轻易就能摆脱掉的。所以我觉得你应该可以理解为什么好像平时不太见到三言诗，因为三言诗的大部分代表作不是给大众欣赏的。《巩金瓯》的一大罪状也是太诘屈聱牙让人根本看不懂在写什么（当然这主要是因为它的内容而不是它的形式，但形式和内容是不可分割的，形式本身是一种内容）。以及题主也说了“学习古诗时看到的都是四言、五言、七言的”，都课本了，那肯定是教你规范的、典型的、脍炙人口的、你学了有用的——这里的“有用”是指你可以触类旁通有益于接下来的更深入的学习。关于这个可以参考另一个知乎问题即语文课本为什么不选《尚书》，很简单因为你学这个没用。这也是为什么课本不怎么选周邦彦吴文英王沂孙纳兰性德之类的，不是他们水平差，而是你把义务教育的宝贵时间花在学这个上属于事倍功半（但这同样导致了一些令人红温的言论比如纳兰性德写得烂所以不选、他出名完全是因为他名字好听像羽生结弦一样吸引啥都不懂的女的，以及“我们可以轻易看懂两千年前老祖宗写的东西！你看欧洲人就不行！”——不，你看不懂，简体横排你也不懂，你连字儿都不认识。）
当然你可能也会想到郊祀歌以外的经典三言诗，比如李贺的那首“西陵下，风吹雨”。但是同理，以普及为目的的《唐诗三百首》是一首李贺都没选的，这不是（或者说不完全是）因为蘅塘退士厕品，而是因为李贺你把握不住。《唐诗三百首》里绝大部分都是律诗，就体现了这种思维。
现在最朗朗上口的三言诗歌可能出自一些使用三言的词牌。比如《六州歌头》。这首来自张孝祥，可能是这个词牌最广为人知的一首了：
长淮望断，关塞莽然平。征尘暗，霜风劲，悄边声，黯销凝。
追想当年事，殆天数，非人力，洙泗上，弦歌地，亦膻腥。
隔水毡乡，落日牛羊下，区脱纵横。看名王宵猎，骑火一川明，笳鼓悲鸣，遣人惊。
念腰间箭，匣中剑，空埃蠹，竟何成！时易失，心徒壮，岁将零，渺神京。
干羽方怀远，静烽燧，且休兵。冠盖使，纷驰骛，若为情。
闻道中原遗老，常南望、翠葆霓旌。使行人到此，忠愤气填膺，有泪如倾。
然后我再说六言诗。如果说三言如今少见是因为教学的性价比低，那六言可能真的是因为这种文体先天不足了，写的人物理意义就是少。六言句等于它必须是三乘二aabbcc，或者是aabbbb，或者是aaaabb，没有别的可能性了，这是根本违反中国诗歌曲折多样的宗旨的（我知道你要问那四言诗怎么回事，很简单因为《诗经》是四言诗，那是祖宗之法大雅之言！以及aabb还可以接受，aabbcc就真的，蛮无聊的。而且事实的确就是五七言兴起后四言没落了）。中国诗的讲究和避讳，比如转韵、平仄、对仗时避免合掌等等都是为曲折多样服务的，但六言很难做到这点，你根本插不进单字，念起来急促死板很不好听。这也是为什么最出名的六言诗是李季兰的那首“至高至明日月，至亲至疏夫妻”，因为这首诗卡bug了。但如果一种文体出佳作的方式是卡bug，那没人碰是很正常的吧……………………古人也早已意识到这点，洪迈就说过“予编唐人绝句得七言七千五百首，五言二千五百首，合为万首，而六言不满四十，信乎其难也！”刘克庄说“六言尤难工”，纪晓岚也说“六言最难工，既工亦非正体”。清人董文涣对此的论述可能是比较清晰的：
至于六言，既乏五言之隽味，又无七言之远神。盖文字必奇偶相间，阴阳协和而成。譬之琴然，初则五弦宫、商、角、 徵、羽皆备，后加变宫、变徵为七弦，乐律从此大备，不能再为增减。故诗之为偶，而句法则以奇为用。六言则句联皆偶，体用一致，必不能尽神明变化之妙，此自来诗家所以不置意也。
同理，六言现在比较脍炙人口的可能是一些密集使用六言的词牌。比如《西江月》：
宝髻松松挽就，铅华淡淡妆成。青烟翠雾罩轻盈，飞絮游丝无定。
相见争如不见，多情何似无情。笙歌散后酒初醒，深院月斜人静。
但你看它还是插入了七言句子作为调和的。你试一下把那两个七言句子改成六个字的，效果会很糟糕。
大概就是这样，我这个回答肯定是很片面的，因为这个问题要细说应该用博士论文来说。以后有想起来的可能会补充。
