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常微分方程的理论对偏微分方程的研究有没有帮助？

卡卷网2年前 (2024-11-20)每日看点335

之前看到过一句话，好像是 Bourgain 说的，大意是做 ode 的做到深处就到了 pde，做 pde 的做到深处就到了 ode，ode 和 pde 最后是相通的。

以我目前有限的知识，只知道下面两个方向：

1. Hamilton 系统在现代 Hamilton-Jacobi 方程理论中有重要的应用，最近我也在做这个方面的事情。在经典的 Hamilton-Jacobi 方程理论中，对 Cauchy 初值问题，其经典解是使得方程成立的 C1 函数，特征线方法指出 Hamilton 向量场的流作为方程的特征线可以在局部编织出它的解，ode 的局部可积性保证了局部经典解是存在唯一的，光滑性也可以由 Hamilton 向量场保证，方程的解沿着特征线传播 (可以参见 Arnold 的 Geometrical methods in the theory of ordinary differential equations，一个形象的类比是波前和光线，解类比为波前，特征线类比为光线)。而在现代 HJE 理论中，整体 C1 使得方程处处成立的解一般不存在，我们更多的是考虑整体的弱解 (粘性解，一般考虑连续粘性解，不连续的情况可以参见 Ishii 的 Perron's methods for Hamilton-Jacobi equations，这篇文章也用 Perron 方法构造性的证明了粘性解的存在唯一性)，解的存在唯一性，以及解的长期行为。Fathi 在上世纪九十年代引入了弱 KAM 理论，其实就是把 Mather 在 Hamilton 系统中构建的 Mather 理论应用到 Hamilton-Jacobi 方程上去，Fathi 在粘性解 (弱 KAM 解) 的角度给出了新的看法去重新定义 Mather 理论里面的一系列集合，具体可以参见 Fathi 的书 Weak KAM Theorem in Lagrangian Dynamics，其主要内容就是考虑 Hamilton-Jacobi 方程粘性解在 Mather 集、Mane 集和 Aubry 集上的性质，以及演化方程解的长期行为与稳定方程粘性解的存在性 (弱 KAM 定理)。可以证明，演化方程的粘性解存在唯一，并且可以由 Lax-Oleinik 算子半群表示，它沿着极小特征线传播。存在唯一的常数 c0 使得演化方程的解在底流形上一致收敛，收敛的极限是算子半群的不动点，因此是稳定方程的解。这里常数称为 Mane 临界值，可以看到存在唯一的常数使得稳定方程有解，但是稳定方程的解可以不唯一。值得一提的是，另一种得到稳定方程解的方法由 Lions 给出，即粘性消失方法，这也是为什么这里的弱解叫粘性解的原因。

2. 无穷维 KAM 理论在寻找 Hamilton 型非线性 pde 拟周期解中的应用，主要包括非线性 Schrodinger 方程、波方程和梁方程。早在 1965 年 Melnikov 就声明了一个有限维 Hamilton 系统椭圆低维不变环面存在性的结论，这可以认为是无穷维 KAM 定理 (考虑有限维环面的存在性) 的先导 (值得一提的是低维环面的存在性与 Arnold 扩散现象也有关，当时 Arnold 就是通过共振区双曲低维环面构造传递链来说明连接轨道的存在性的，现在这套方法被称为 Poincare-Arnold-Melnikov 方法)。这个结果被 Kuksin 等人推广到无穷维，称为无穷维 KAM 定理，见 Nearly integrable infinite dimensional Hamiltonian systems，这个理论的框架基于辛 Hilbert 尺度 (Symplectic Hilbert scale, SHS)，在 SHS 上我们可以把 Hamilton 系统的结果平行的推广到无穷维。在 Hilbert 尺度空间上我们可以定义辛结构和辛映射，进一步可以定义 Hamilton 函数和 Hamilton 向量场。同时可以证明无穷维的 Hamilton 向量场是局部可积的，并且它定义了一个辛变换。如果考察 Hilbert 空间上二次型形式的 Hamilton 函数 (泛函)，其 Hamilton 向量场是一个线性方程，取系数算子的 2n 个特征向量张成的有限维子空间，它由线性方程的 n 维不变环面所分层，显然线性方程在这些 n 维环面上定义了拟周期的运动。与经典 KAM 理论相类似的，现在考虑 Hamilton 函数的小扰动，无穷维 KAM 定理说，如果系统满足若干条件，包括频率局部非退化、线性系统的系数算子谱点有渐进表达、频率非共振，那么对作用量参数空间，在 Lebesgue 测度的意义下，存在低维不变环面，其 Lipschitz 接近于线性系统的不变环面，并且上面充满了拟周期解。对于非定态的 Schordinger 方程，线性方程为，考虑 Dirichet 边值，它可以看作是 Sobelov 空间上的 Hamilton 方程，其中系数算子，Hamilton 函数为二次型 . 将 u 对 A 的特征向量 (它也是 Hilbert 空间上的一组标准正交基) 做展开，可以看到存在拟周期解，不变环面的维数取决于有多少态被激发。当 u 在零的小邻域内 (Sobelov 空间给出范数) 时，带高阶非线性项的 Schordinger 方程就可以看作是线性方程的一个扰动。对于线性的波和梁方程，通过引入可以将方程化为带一阶时间导数的 Hamilton 方程的形式，对于非线性方程，依然可以看作是线性方程的小扰动。

再更新一个：反应扩散方程存在类似于平面动力系统的结论，参见：

B. Fiedler, J. M-Paret. A Poincare-Bendixson theorem for scalar reaction diffusion equations.

这篇文章指出，圆周上反应扩散方程的有界解的极限集要么是周期解，要么是不动点的连接轨 (包括不动点本身)，这与经典的 Poincare-Bendixson 定理保持一致。证明方法主要依赖于 Angenent 关于抛物方程零点随时间衰减的结果，直观来说就是温度随时间分布越来越平稳。由于方程是二阶的，解空间 H2 可以嵌入 C1 函数空间 (这里与一阶方程有本质不同)，因此可以在固定点上定义函数的 1-jet，这样定义的映射给出了解的极限集和平面上某个紧集之间的同胚映射，这表明反应扩散方程解作为无穷维动力系统，它的极限行为与平面动力系统是一致的。